Chapitre 2.4 - Représentation d'un entier positif dans différentes bases

Hormis la base 10, deux bases sont utilisées en informatique :

• la base 2 (le système binaire)
• la base 16 (le système hexadécimal)

Dans toute la suite, la base dans laquelle le nombre est écrit sera précisée en indice.
Exemple : \(13_{10}=1101_2=\rm{D}_{16}\)

1. Le système binaire

En base 2, on ne dispose que des chiffres 0 et 1. Le système binaire est un système de numération de position (comme le système décimal, hexadécimal... mais pas comme le système romain). À chaque rang correspond une puissance de 2.

1.1 Du binaire vers le décimal :

...	128	64	32	16	8	4	2	1
...	\(2^7\)	\(2^6\)	\(2^5\)	\(2^4\)	\(2^3\)	\(2^2\)	\(2^1\)	\(2^0\)
...	1	1	0	1	0	0	1	0

\(11010010_2=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+0 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+0 \times 2^0=128+64+32+2=210_{10}\)

Le nombre binaire 11010010 correspond donc au nombre décimal 210.

Code Python

En Python, on peut utiliser la fonction int("nombre", base).

Python

>>> int("11010010", 2)
210

1.2 Du décimal vers le binaire :

Principe : dans chaque nombre décimal, il existe une plus grande puissance de 2 qui est inférieure au nombre.

Par exemple, dans 243, il y a 128. Donc
\(243=128 + (115)\)
\(243=128+64+(51)\)
\(243=128+64+32+(19)\)
\(243=128+64+32+16+(3)\)
\(243=128+64+32+16+2+1\)
\(243=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+1 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+1 \times 2^0\)

Donc \(243_{10}=11110011_2\)

Méthode des divisions successives

Code Python

En Python, on peut utiliser la fonction bin(nombre). Elle renvoie une chaîne de caractère où le nombre binaire est précédé de '0b'.

Python

>>> bin(243)
'0b11110011'

Exercice 1

ÉnoncéCorrection

Quelle est la valeur maximale d'un octet (un octet = 8 chiffres binaires) ?

\(11111111_2=255\). On retrouve ce nombre comme étant la valeur maximale d'une composante de couleur dans le codage RGB, ce qui signifie que chaque composante est codée sur un octet.

Exercice 2

ÉnoncéCorrection

Créer une fonction binaire(n) qui renvoie l'écriture binaire de n, en utilisant les divisions successives.

def restes_successifs(n):
    ''' renvoie la liste des restes successifs lors des divisions de n par 2'''
    restes = []
    while n != 0 :
        restes.append(n % 2)
        n = n // 2
    return restes

def binaire(n) :
    ''' recompose le mot binaire en mettant dans l'ordre les restes successifs'''
    liste = restes_successifs(n)
    liste.reverse() #permet d'inverser l'ordre des élément d'une liste
    mot = ""
    for k in liste :
        mot += str(k)
    return mot

2. Le système hexadécimal

L'inconvénient essentiel du système binaire est la longueur de l'écriture des nombres qu'il génère. Pour cette raison, le système hexadécimal, ou système de base 16 est très souvent employé.

• Pour écrire en base 2, il faut 2 chiffres différents : le 0 et le 1.

• Pour écrire en base 10, il faut 10 chiffres différents: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

• Pour écrire en base 16, il faut donc 16 chiffres différents : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

On a donc la correspondance :

• A représente 10
• B représente 11
• C représente 12
• D représente 13
• E représente 14
• F représente 15

2.1 De l'hexadécimal vers le décimal :

256	16	1
\(16^2\)	\(16^1\)	\(16^0\)
1	D	2

\(\rm{1D2}_{16}=1 \times 16^2+ 13 \times 16^1+2 \times 16^0=256+208+2=466_{10}\)

Le nombre hexadécimal 1D2 correspond donc au nombre décimal 466.

En pratique, l'hexadécimal est surtout utilisé pour sa capacité à représenter la valeur de n'importe quel octet sur 2 chiffres ("chiffres" étant à prendre au sens large = chiffres ou lettres !).

Exercice 3

ÉnoncéCorrection

1. Donner la valeur des octets FF, 3A, B2.
2. Expliquer pourquoi la couleur RGB (138,255,51) a pour code html #8AFF33.
3. Quelle est la couleur html du blanc ?

1. FF = 255 ; 3A = 58 ; B2 = 178
2. 138 a pour code hexa 8A, 255 a pour code hexa 255, 51 a pour code hexa 33.
3. #FFFFFF

2.2 En python :

2.2.1 Pour passer du décimal à l'hexadécimal :

On peut utiliser la fonction hex(nombre). Elle renvoie une chaîne de caractère où le nombre hexadécimal est précédé de '0x'.

Python

>>> hex(125)
'0x7d'

2.2.2 Pour passer de l'hexadécimal au décimal :

On peut utiliser la fonction int("nombre",base).

Python

>>> int("FF", 16)
 255

3. Du binaire inattendu

Le message secret de Perseverance